卡尺测量的不确定度预算

卡尺预算里要列哪些来源？

NPL 第 40 号良好实践指南为卡尺测量列了六项：没有修正的校准误差（或只知道在规格内）、测量面平面度、测量面平行度、测量面对尺身的垂直度、分辨力、重复测量时的随机变化。垂直度要么只带来可以忽略的余弦误差，要么表现为平行度误差，所以不单独列一行。

每个来源怎样换算成标准不确定度？

GUM 的三种换算就够卡尺预算用；之后各行按平方和开方合成，前提是各项相互独立、每项对读数的影响为一比一：

• 重复读数（A 类）：n 次读数的实验标准偏差 s，平均值的标准不确定度为 s/√n。
• 只知界限 ±a、区间内各值等可能（矩形分布，B 类）：u = a/√3。
• 示值分辨力 δ：u = δ/√12 = 0.29δ。

算例：NPL 的卡尺预算

卡尺分辨力 0.02 mm，规格 ±0.02 mm；测量面平面度 0.005 mm，平行度 0.008 mm。一个零件测五次：20.08、20.08、20.06、20.10、20.12 mm，平均值 20.088 mm，s = 0.0228 mm。校准证书只写了“符合规格”。

用未舍入的各行合成，u_c = 0.0173 mm，U = 2 × 0.0173 = 0.035 mm，即 NPL 报告的数值。用表中舍入后的数合成，u_c = 0.0178 ≈ 0.018 mm。NPL 把各行当作相互独立；严格的预算还要检查规格项是否已经包含了测量面和重复性的一部分影响。

只测五次，包含因子要变吗？

k = 2 的前提是标准不确定度估得比较准。重复性一行只有 5 − 1 = 4 个自由度，NPL 也说明它的简化算法忽略了这一点：读数少于 10 次时要考虑自由度，并建议取 k = 2.87，即 GUM 表中自由度 4、包含概率 95.45 % 的 t 因子。这等于把整个预算都当作只有 4 个自由度。

GUM 自己的办法（G.4，韦尔奇—萨特思韦特公式）算的是 u_c 的有效自由度。本例重复性约占方差的 35 %，B 类各行视为准确已知，ν_eff ≈ 33，t 因子约 2.08：U ≈ 2.08 × 0.0173 ≈ 0.036 mm。只有重复性在预算里占主导时，k = 2.87 才接近；否则它偏保守。

测量结果怎么写？

把测得值、U 和包含因子一起写出：20.088 mm ± 0.035 mm（k = 2）。最大的两行是规格项（约占方差的 44 %）和重复性（约 35 %），分辨力、平行度和平面度占其余部分。要把结果做得更好，就要从这两行下手。用校准证书上的实测误差修正读数，规格一行就换成校准不确定度（含校准点之间的插值），通常比规格项小，但不为零；如果分散是随机的，多测几次能降低 s/√n，例如 s 不变、测 10 次时为 0.0072 mm。

拿到 U 以后怎样判定合格，见判定规则与保护带；A 类、B 类的概念见测量不确定度入门。

结合 KELIBRON 使用这份预算

实训室的游标卡尺分辨力 0.02 mm，和 NPL 算例相同；数显卡尺 0.01 mm，分辨力一行为 0.01/√12 = 0.003 mm。实训室目前不模拟重复读数的分散：在同一位置重新放一次，读数不变。所以在加入重复测量练习之前，重复性这一行要用真实测量的数据。